Coeur et nucléolus des jeux de recouvrement

¹ France Telecom – CNET, 38-40 avenue du Général Leclerc, 92794 Issy-les-Moulineaux Cedex 9, France.
² LIMOS, Université Blaise Pascal, 63174 Aubière Cedex, France.

Received: March 1999

Abstract

A cooperative game is defined as a set of players and a cost function. The distribution of the whole cost between the players can be done using the core concept, that is the set of all undominated cost allocations which prevent players from grouping. In this paper we study a game whose cost function comes from the optimal solution of a linear integer covering problem. We give necessary and sufficient conditions for the core to be nonempty and characterize its allocations using linear programming duality. We also discuss a special allocation, called the nucleolus. We characterize that allocation and show that it can be computed in polynomial time using a column generation method.

Résumé

Un jeu coopératif est défini par un ensemble de joueurs et une fonction de coût. Pour répartir le coût total entre tous les participants, la théorie nous apporte le concept de coeur : c'est l'ensemble des allocations de coûts qui empêchent toute formation d'une coalition de joueurs. Nous étudions un jeu dont la fonction coût est issue de la solution optimale d'un problème de recouvrement linéaire en variables entières. Nous obtenons les conditions de non vacuité du coeur de ce jeu et la caractérisation de ses allocations par le biais de la théorie de la dualité en programmation linéaire. Nous recherchons aussi d'une imputation de coûts particulière, le nucléolus. Après l'avoir caractérisé, nous montrons que sa détermination, basée sur une méthode de génération de colonnes, se fait polynomialement en fonction des données.