Construction de facettes pour le polytope du sac-à-dos quadratique en 0-1

Building facets for the quadratic 0-1 knapsack polytope

CEDRIC-IIE, 18 allée Jean Rostand, 91025 Evry Cedex, France ; fayea@iie.cnam.fr.

Résumé

Nous construisons des familles de facettes du polytope du sac-à-dos quadratique en 0-1 selon les deux approches suivantes. Le Boolean quadric polytope (introduit dans le cas sans contraintes par Padberg [12]) contenant le polytope du sac-à-dos quadratique, une première approche consiste à se demander sous quelles conditions une facette du premier est aussi une facette du second et quand ces conditions ne sont pas remplies quels liftings permettent d'en faire une facette. Des réponses à ces questions sont données dans le cas de l'inégalité "coupe" introduite par Padberg. Dans une seconde approche, suivant la méthode de linéarisation d'Adams et Sherali [1], nous multiplions par une variable directe ou complémentée une facette du polytope du sac-à-dos linéaire. Nous montrons que cette approche permet d'obtenir des facettes du polytope du sac-à-dos quadratique et nous l'étendons par la suite à la multiplication de facettes du sac-à-dos quadratique lui-même. Des résultats numériques illustrent la mise en oeuvre dans un algorithme de coupes, d'inégalités ainsi obtenues.

Abstract

We build facets of the quadratic 0-1 knapsack polytope following two different approaches. The quadratic 0-1 knapsack polytope is included in the Boolean quadric polytope introduced by Padberg [12] for unconstrained 0-1 quadratic problem. So in a first approach, we ask the question which are the facets of the Boolean quadric polytope that are still facets of the quadratic 0-1 knapsack polytope. Results for this problem are given for the cut inequality introduced by Padberg [12]. We give necessary and sufficient conditions for which the cut inequality induces a facet of the quadratic 0-1 knapsack polytope and when these conditions are not satisfied we give a lifting of the inequality. In a different way, following the linearization technique of Adams and Sherali [1], we build facets of the quadratic 0-1 knapsack polytope from facets of the linear 0-1 knapsack polytope multiplying a linear inequality by a variable x_i or =1-x_i. We show that this approach gives facets of the quadratic 0-1 knapsack polytope and we extend it to multiplying an inequality that induces a facet of the quadratic 0-1 knapsack polytope. To conclude, we give numerical results of a cutting plane algorithm involving cuts built following these two schemes.